*** Propagation du virus de la grippe

Dans cet exercice, on s'intéresse à la propagation du virus de la grippe.

Soit \(R\) le taux de reproduction d'une maladie, c'est-à-dire le nombre de personnes qu'une personne malade contamine en moyenne. Par exemple, si \(R=2\), une personne atteinte de la grippe contaminera \(2\) autres personnes.

Au cours d'une étude, on fait les hypothèses suivantes :

• le nombre de personnes contaminées par le virus et contagieuses au début de l'étude s'élève à \(50 \ 000\) ;
• toute personne contaminée est contagieuse pendant une semaine et contamine \(R\) autres personnes qui seront elles-mêmes contagieuses à partir de la semaine suivante ;
  
• toute personne contaminée est contagieuse pendant une seule semaine.
  

Pour étudier le phénomène, on pose \((u_n)\) la suite modélisant le nombre de personnes (en milliers) atteintes par la grippe et contagieuses durant la \(n\)-ième semaine.

Tous les résultats seront arrondis à l'unité.

Partie A : première période de 12 semaines

Dans cette première période, on suppose que le taux de reproduction du virus de la grippe est constant et vaut \(R=1,15\).
1. Donner \(u_0\) et calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. Donner, en justifiant, la nature de la suite \((u_n)\) ainsi que sa raison et son premier terme.
3. Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Combien de personnes ont été contaminées, au total, à la fin de la première période ?

Partie B : deuxième période

Une baisse du nombre de cas est observée à partir de la semaine \(12\) : le nouveau taux de reproduction du virus de la grippe vaut alors \(R=0{,}8\).
On note alors \((v_n)\) la suite modélisant le nombre de personnes (en milliers) contaminées par la grippe au bout de \(n\) semaines après la première période. Ainsi \(v_0=u_{12}\).
5. Calculer \(v_1\) et \(v_2\).
6. L'Institut Pasteur considère qu'un virus a disparu de la société lorsque moins d'un millier de personnes en sont atteintes. Déterminer la semaine à partir de laquelle on pourra affirmer que le virus a disparu, d'après la définition de l'Institut Pasteur.

Partie C : mesures sanitaires

Propriété 
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs et \(n\) un entier naturel non nul.
On a alors l'équivalence suivante : \(a^n=b\) équivaut à \(a=b^{1/n}\).

Face à la lenteur de la disparition du virus, des mesures sanitaires sont mises en place pour accélérer son élimination. Objectif : atteindre le millier de cas en seulement `10` semaines à partir de la semaine \(12\). Pour ce faire, des mesures de confinement et vaccination sont mises en place.
7. Quel impact devraient avoir ces mesures sur la valeur de \(R\) ?
On note alors \((w_n)\) la suite modélisant le nombre de personnes (en milliers) contaminées par la grippe au bout de \(n\) semaines après la première période en instaurant les mesures sanitaires.
On considère que \(w_0=u_{12}\).
8. Déterminer la valeur de \(R\) qui permet de remplir l'objectif fixé par les institutions sanitaires. On arrondira à \(10^{-2}\) près.

Le tableur suivant peut être utilisé pour réaliser les calculs.